Bonjour,
Pourriez-vous m'expliquer en détail comment fonctionne la preuve par 9 (pour une division et une multiplication). Je sais l'appliquer mais je ne sais pas pourquoi ça marche. Je ne retrouve pas la démonstration. Merci de m'aider. Exemple . 17x2=34 ; preuve par neuf : 1+7=8 ; 8x2= 16 ; 1+6=7 et 3+4=7, on peut donc supposer (sans affirmer) que cette multiplication a un résultat juste car la preuve par 9 est bonne, 7=7. Comment fonctionne cette preuve par 9???

Michel

L'idée derrière cette preuve, pour vérifier qu'une opération AxB=C est juste: Si l'on divise AxB par 9, on devrait obtenir le même reste que si l'on divise C par 9. D'après le principe de l'arithmétique modulaire, on obtient le reste de la division de AxB par 9 (appelé AxB mod 9) en multipliant le reste de la division de A par 9 au reste de la division de B par 9, et en prenant le reste de la division de ce produit par 9. (Ouf, c'est très long et répétitif, tout çà; on peut écrire plus simplement AxB mod 9 = ((A mod 9) x (B mod 9)) mod 9. )

Évidemment, jusque là le nombre 9 n'a rien de spécial; on pourrait utiliser 13, ou 17, ou n'importe quoi. La raison pour laquelle on utilise 9 est qu'il y a un truc rapide pour obtenir le reste de la division d'un nombre par 9: Il suffit d'additionner tout ses chiffres, comme vous l'avez fait.

Par exemple, 1364/9 = 151 reste 5; et 1+3+6+4 = 14, 1+4 = 5. Ca marche parce que

Le premier terme est clairement un multiple de 9, donc le reste de la division par 9 est le même que le reste de la division du second terme par 9.