Bonjour, Mon nom est babahadj. Je suis dans la categorie autre. la question est de difficulte intermediaire.

Voila
Il s'agit du probleme du solitaire avec des cases numerotees 1, 2 et 3. Un pion se trouve initialement sur chacune des cases, sauf la centrale qui est vide. Au depart, il ya 15 pions sur les cases avec le numero 1 , 15 pions sur des cases avec le numero 2, et 14 pions sur des cases avec le numero 3. Le seul mouvement pour un pion P consiste a manger un pion P' en sautant par dessus ce dernier , a condition que le pion P' soit situe sur une case voisine (horizontalement / verticalement) et que la case dans laquelle aboutit le pion P soit vide. En partant de cet etat initial , est - il possible d'arriver a un etat final avec un seul pion se trouvant sur une case portant le numero 1. Pourquoi? Merci de me repondre.

      1 2 3
      2 3 1
      3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1 2 3 1 2 3 1
3 1 2 3 1 2 3 1 2
      1 2 3
      2 3 1
      3 1 2

Non, c'est impossible. Soit x: le nombre de pions sur des cases portant le numéro 1, y: le nombre de pions sur des cases portant le numéro 2 et z: le nombre de pions sur des cases portant le numéro 3. Au départ, on a x = 15, y = 15 et z = 14. Puis en jouant, on va graduellement changer les valeurs de x, y et z. Notons que sur trois cases successives (soit horizontalement soit verticalement), on voit toujours apparaitre les trois numéros 1, 2 et 3. Donc, en faisant sauter un pion par dessus un autre, on change toujours les trois valeurs x, y et z: deux d'entre elles diminuent de 1, et l'autre augmente de 1.

Ainsi, les parités de x, y et z changent toutes en même temps: on commence avec x impair, y impair, z pair; après un coup, on a x pair, y pair et z impair; ensuite, on retrouve x impair, y impair et z pair, et ainsi de suite. Donc x a toujours la même parité que y, et z a la parité opposée; on ne peut jamais atteindre un position telle que x = 1, y = 0, z = 0, parce qu'alors on aurait x impair et y pair, ce qui est impossible.

Maintenant, est-il possible d'arriver à un état final avec un seul pion se trouvant sur une case portant le numéro 3? Si oui, pour quelles cases portant le numéro 3 est-ce possible?