Questions
comment démontrer qu un nombre entier est un carré parfait si et seulement si il admet un nombre impair de diviseurs?
niveau terminale
c'est une enseignante qui pose la question, merci de m aider au plus vite
Bonjour,
On peut toujours regrouper les diviseurs D d'un nombre N par paires de la forme { D, N/D }. Par exemple, les diviseurs de 24 constituent les paires { 1, 24 }, { 2, 12 }, { 3, 8 } et { 4, 6 }.
Ainsi donc, le nombre des diviseurs d'un nombre N devrait toujours être pair, non? En fait, il y a une exeption: lorsque D et N/D sont égaux, alors la "paire" { D, N/D } n'a qu'un seul élément.
On a alors N/D = D d'où N = D2, donc N est un carré parfait. Ainsi, les carrés parfaits sont les seuls nombres qui admettent un nombre impair de diviseurs.
Claude