azarnia,

Nous pouvons en fait montrer un résultat plus général :

cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)

Un outil puissant pour démontrer de telles identités consiste à utiliser les
nombres complexes.

En utilisant le développement en série de Taylor des fonctions sin, cos et e,
on peut montrer l'identité suivante due à Euler :

e^ix=cos(x)+i*sin(x)

où i désigne la racine carrée de -1.

On a alors

cos(x+y)+i*sin(x+y) = e^i(x+y) = e^ix * e^iy =
(cos(x)+i*sin(x))*(cos(y)+i*sin(y)) = ( cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) ) + i*(sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) ).

Le signe - est apparu en multipliant i par i, ce qui fait -1.
Maintenant, une chose importante à savoir est que deux nombres complexes sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires
concordent deux à deux.
En égalant les parties réelles (celles qui ne sont pas multipliées par i) de
chaque côté de l'égalité, on obtient

(1) cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y).

En égalant les parties imaginaires (celles multipliées par i), on a aussi

sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y).

En posant y=x dans l'identité (1), tu obtiendras le résultat que tu cherchais.

Pour une preuve géométrique de cette identité, tu peux aussi consulter la
page suivante : http://www.themathpage.com/aTrig/sum-proof.htm .

Maxime Fortier Bourque