If you speak french I will prefer...

I have an arithmetic problem I cannot resolve, it's why I need your help:

2³² +1 can be divided by 641 , why?

Best regards,
Un Etudiant

Fermat pensait que tous les nombres de la forme 2²ⁿ + 1 étaient premiers. Il avait raison pour 2²⁰ + 1 = 3, 2²¹ + 1 = 5, 2²² + 1 = 17, 2²³ + 1 = 257 et 2²⁴ + 1 = 65537.

Par contre, le terme suivant est

2³² + 1 = 641 x 6700417; Euler s'en est rendu compte, et a ainsi démenti l'impression de Fermat.

Euler savait que si p est un facteur premier de 2²ⁿ + 1, alors p-1 est un multiple de 2ⁿ⁺² pour n=5, on obtient 2ⁿ⁺² = 128. les multiples de 128 sont 128, 256, 384, 512, 640, ... Donc les candidats pour p sont 129, 257, 385, 513, 641, ... 129 et 513 sont des multiples de 3, 385 est un multiple de 5, donc on peut les rejeter, donc il suffisait à Euler d'essayer de diviser 2³² + 1 par 257, puis par 641, puis il obtenait le facteur 641.